Programmieren – 11. Zahlensysteme

Ingenieurinformatik Teil 1, Wintersemester 2026/27

David Straub

Programmieren – D. Straub

Warm-up: Was gibt der Code aus?

x = [0, 1, 2]
y = []
for wert in x:
    y.append(wert ** 2)
print(y)
Programmieren – D. Straub

Heute lernen Sie

  • Wie Computer Zahlen speichern: Bits, Bytes, Binärsystem
  • Umrechnen: binär ↔ dezimal ↔ hexadezimal – mit nachvollziehbaren Zwischenschritten
  • Warum 0.1 + 0.2 == 0.3 den Wert False hat – und wie man mit Kommazahlen richtig vergleicht
Programmieren – D. Straub

Bits und Bytes

Programmieren – D. Straub

Alles ist 0 oder 1

  • Ein Bit: die kleinste Speichereinheit – 0 oder 1
  • Ein Byte: 8 Bit
  • Mit nn Bit lassen sich 2n2^n verschiedene Werte darstellen

Beispiel: Eine Ganzzahl wird mit 8 Byte gespeichert – wie viele unterschiedliche Werte lassen sich darstellen?

8 Byte = 64 Bit → 2642^{64} Werte. Die Zweierpotenz ist die Antwort – niemand rechnet die 20-stellige Zahl aus.

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Das Stellenwertsystem

Dezimal (Basis 10) – so lesen Sie Zahlen seit der Grundschule:

257=2⋅100+5⋅10+7⋅1257 = 2 \cdot 100 + 5 \cdot 10 + 7 \cdot 1

Binär (Basis 2) – dasselbe Prinzip, andere Stellenwerte:

11012=1⋅8+1⋅4+0⋅2+1⋅1=131101_2 = 1 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 13

Stellenwerte von rechts: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, …

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Binär → Dezimal

1100112=?110011_2 = ?

Stellenwert 32 16 8 4 2 1
Ziffer 1 1 0 0 1 1

32+16+2+1=5132 + 16 + 2 + 1 = 51

Nur die Stellen mit 1 addieren – mehr ist es nicht.

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Dezimal → Binär

45=  ?245 = \;?_2 – fortgesetzte Division durch 2, Reste notieren:

Rest
45 : 2 = 22 1
22 : 2 = 11 0
11 : 2 = 5 1
5 : 2 = 2 1
2 : 2 = 1 0
1 : 2 = 0 1

Reste von unten nach oben lesen: 1011012101101_2. Probe: 32+8+4+1=4532+8+4+1 = 45 ✓

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Mini-Aufgabe (4 min, auf Papier)

Rechnen Sie um – mit allen Zwischenschritten:

12310=  ?2123_{10} = \;?_2

Und dann die Probe: rechnen Sie Ihr Ergebnis zurück ins Dezimalsystem.

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Hexadezimal: Basis 16

  • Ziffern: 0–9, dann A (10) bis F (15)
  • Warum? 4 Bit = genau eine Hex-Ziffer – kompakte Schreibweise für Bitmuster
  • Stellenwerte: 1, 16, 256, …

2A16=2⋅16+10=422A_{16} = 2 \cdot 16 + 10 = 42

Und rückwärts: 12310=7⋅16+11→7B16123_{10} = 7 \cdot 16 + 11 \rightarrow 7B_{16}

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Mini-Aufgabe (3 min, auf Papier)

AAA16=  ?10AAA_{16} = \;?_{10}

Zur Übersetzung der Ziffern (0–9 zählen wie im Dezimalsystem):

Hex 0…9 A B C D E F
Dezimal 0…9 10 11 12 13 14 15
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Kommazahlen im Binärsystem

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Stellen hinter dem Komma

Vor dem Komma: 1, 2, 4, 8, … – hinter dem Komma geht es genauso weiter:

12,14,18,116,…\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \tfrac{1}{16}, \ldots

0,2510=0,0120,7510=0,1120,62510=0,10120{,}25_{10} = 0{,}01_2 \qquad 0{,}75_{10} = 0{,}11_2 \qquad 0{,}625_{10} = 0{,}101_2

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Eine Kommazahl umrechnen – langsam

257,2510=  ?2257{,}25_{10} = \;?_2

Vorkomma 257: Division mit Rest (wie eben) → 1000000012100000001_2

Nachkomma 0,25: fortgesetztes Verdoppeln, Vorkommastelle notieren:

Vorkomma
0,25 · 2 = 0,5 0
0,5 · 2 = 1,0 1 – Rest 0, fertig

Von oben lesen: 0,0120{,}01_2. Zusammen: 257,2510=100000001,012257{,}25_{10} = 100000001{,}01_2

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Warum ist 0,1 im Computer nicht exakt 0,1?

Dasselbe Verfahren für 0,1100{,}1_{10}:

Vorkomma
0,1 · 2 = 0,2 0
0,2 · 2 = 0,4 0
0,4 · 2 = 0,8 0
0,8 · 2 = 1,6 1
0,6 · 2 = 1,2 1
0,2 · 2 = … wieder 0,2 – Zyklus!

0,110=0,00011‾2– unendlich periodisch0{,}1_{10} = 0{,}0\overline{0011}_2 \quad \text{– unendlich periodisch}

Der Computer speichert endlich viele Stellen – 0,1 ist im Rechner nie exakt 0,1.

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Erinnern Sie sich? Die Batterie-Schleife aus Woche 1

ladezustand = 0.0
while ladezustand != 1.0:
    ladezustand = ladezustand + 0.1

Zehnmal ein fast-0,1 ergibt fast-1,0 – aber nie exakt 1,0. Die Bedingung wurde nie falsch. Deshalb hing die Schleife.

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Vorhersage-Aufgabe (1 min)

Aufschreiben, dann ausführen:

print(0.1 + 0.2 == 0.3)
print(0.1 + 0.2)
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Erklär-Aufgabe (3 min, auf Papier)

Dieses Skript gibt 10029.999999999996362 aus. Erklären Sie in zwei Sätzen, warum eine „krumme“ Zahl erscheint:

x = 100.3
summe = 0
for i in range(100):
    summe += x
print(f"{summe:.15f}")
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Und wie macht man es richtig?

  • Floats nie mit == vergleichen – mit Toleranz:
a = 0.1 + 0.2
if abs(a - 0.3) < 1e-9:
    print("praktisch gleich")
  • Und die Batterie-Schleife von Woche 1, korrekt:
while ladezustand < 1.0:
    ladezustand = ladezustand + 0.1

< statt != – die Schleife endet, sobald 1,0 erreicht oder überschritten ist.

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So üben Sie Umrechnungen

  • KI-Quizze auf OneTutor: https://hm.onetutor.ai/
  • Oder direkt mit einem Chatbot: Lassen Sie sich Umrechnungsaufgaben stellen – und Ihre Lösungen prüfen
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Mini-Check

  1. Wie viele Werte lassen sich mit 10 Bit darstellen?
  2. 101021010_2 – dezimal?
  3. Warum ist 0,1 binär nicht exakt darstellbar – in einem Satz?
  4. Wie prüft man zwei floats auf „gleich“?
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Bis nächste Woche!

Nächste Woche: Eigene Datentypen mit Klassen – und der Semesterrückblick

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